Hukum-hukum aljabar boolean pada pembahasan kali ini berisikan beberapa teorama bolean. Teorema tersebut seperti yang melibatkan satu variabel, teoroma multivariabel sampai dengan teorema Dmorgan.
Hukum-hukum Aljabar Boolean – Teorema Boolean
Hukum-hukum aljabar boolean membahas teorema boolean yang berisi aturan-aturan yang dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika dan rangkaian logika.
Teori 1 – Hukum-hukum aljabar Boolean
Di dalam hukum-hukum aljabar boolean, teori ini hanya melibatkan satu variabel
- Jika sebuah variabel di AND kan dengan 0, maka hasilnya adalah 0
- Jika sebuah variabel di AND kan dengan 1, maka hasilnya adalah variabel itu sendiri.
- Dapat diuji dengan kasus berikut:
- X = 0, maka 0 . 0 = 0
- X = 1, maka 1 . 1 = 1
- Jika setiap X di AND kan dengan invers nya maka akan menghasilkan 0
- X = 0, maka 0 . 1 = 0
- X = 1, maka 1 . 0 = 0
- Jika 0 ditambahkan dengan apapun, maka tidak akan merubah hasil akhirnya, dan hasil akhirnya akan sama dengan variabel itu sendiri, baik dalam operasi biasa atau dalam OR.
- Setiap variabel yang di OR kan dengan 1, maka hasilnya akan selalu 1.
- X = 0, maka 0 + 1 = 1
- X = 1, maka 1 + 0 = 1
- Dapat diuji dengan memeriksa kedua nilai dari X.
- X = 0, maka 0 + 0 = 0
- X = 1, maka 1 + 1 = 1
- Dapat diuji dengan cara yang sama.
- X = 0, maka 0 + 1 = 1
- X = 1, maka 1 + 0 = 1
Teorema Multivariabel – Hukum-hukum Aljabar Boolean
Di dalam hukum-hukum aljabar boolean, dalam terema ini melibatkan 2 atau lebih variabel.
Hukum Komutatif
| (9) | x +y = y + x |
| (10) | x . y = y . x |
Hukum komutatif mengindikasikan bahwa urutan 2 variabel dalam operasi OR atau AND tidak penting, karena hasilnya sama.
Hukum Distributif
| (13a) | x(y + z) = xy + yz |
| (13b) | (w + x)(y + z ) = wy +xy + wz + xz |
Pembuktian teorema 14
Teorema Demorgan – Hukum-hukum aljabar boolean
Teorema ini ada 2 yaitu:
Teori 16 menyatakan bahwa penjumlahan dua variabel (OR) yang diinvers, maka hasilnya sama dengan variabel diinvers dan di AND kan.
Teori 17 menyatakan bahwa dua variabel yang di AND kan yang diinvers, maka hasilnya sama dengan setiap variabel diinvers dan di OR kan.
Universality of NAND Gates and NOR Gates
NAND GATES
Semua persamaan boolean terdiri dari berbagai kombinasi dari operasi dasar OR, AND dan INVERT. Setiap persamaan dapat dimplementasikan menggunakan gerbang OR, gerbang AND dan INVERTER. Sehingga memungkinkan untuk mengimplementasikan setiap persamaan logika menggunakan NAND gate, karena gerbang NAND merupakan kombinasi yang dapat digunakan dalam operasi boolean OR, AND dan INVERT.
Gambar a.
Gerbang NAND memiliki 2 input dimana kedua inputnya berasal dari variabel A dalam hal ini gerbang NAND bertindak sebagai INVERTER karena outputnya:
Gambar b.
2 gerbang NAND yang terhubung sehingga menghasilkan operasi AND. Gerbang NAND kedua berfungsi sebagai INVERTER untuk merubah seperti AND yang diinginkan.
Gambar c.
Operasi OR dapat diimplementasikan menggunakan gerbang NAND yang dihubungkan seperti gambar diatas. Gerbang NAND 1 dan 2 digunakan sebagai INVERTER untuk membalik input, sehingga hasil akhir output
dapat disederhanakan menjadi
menggunakan teori demorgan.
NOR GATES
Seperti halnya gerbang NAND, dapat digunakan gerbang NOR.
Gambar a.
Gerbang NOR memiliki 2 input dimana kedua inputnya berasap dari variabel A. Dalam hal ini gerbang NOR bertindak sebagai inverter karean outputya:
Gambar b.
2 gerbang NOR yang terhubung sehingga menghasilkan operasi OR. Gerbang NOR kedua berfungsi sebagai INVERTER untuk merubah seperti OR yang diinginkan.
Gambar c.
Operasi AND dapat diimplementasikan menggunakan gerbang NOR yang dihubungkan seperti gambar diatas. Gerbang NOR 1 dan 2 digunakan INVENTER untuk membalik input, sehingga hasil output
dapat disederhanakan menjadi
menggunakan teori demorgan.
ALTERNATE LOGIC‐GATE REPRESENTATIONS
5 gerbang logika dasar (AND, OR, INVERTER, NAND dan NOR) memiliki standar symbol
yang digunakan pada diagram rangkaian logika. Tetapi terkadang kita menemukan
beberapa rangkaian digital yang menggunakan symbol sendiri yang merupakan symbol
logika alternative.
Logic Symbol Representation
Ketika line input atau output pada sebuah rangkaian logika tidak memiliki bubble
(lingkaran), maka line tersebut dikatan aktif HIGH. Dam jika line input atau output memiliki
buble, maka line tersebut active LOW.
Gambar diatas menunjukkan symbol standard gerbang NAND. Symbol standar memiliki
sebuah buble pada outputnya dan tidak memiliki bubble pada inputnya. Gerbang NAND ini
memiliki output active LOW dan input aktif HIGH. Operasi logika ini dinyatakan dengan
symbol :
The output goes LOW only when all of the inputs are HIGH.
IEEE/ANSI STANDARD LOGIC SYMBOLS
Simbol segi empat yang menggunakan sebuah segitiga sama dengan bubble
pada symbol tradisional yang menyatakan invers dari logic level. Kehadiran segitiga
menunjukkan apakah input atau output aktif LOW atau aktif HIGH
Notasi khusus yang berada didalam symbol segi empat menjelaskan relasi logika
antara input dan output :
o “1” menunjukkan Inverter dan hanya memiliki 1 input.
o “&” symbol AND yang berarti output aktif HIGH, jika semua inputnya aktif
HIGH
o >1 Gerbang OR, dimana output aktif HIGH jika salah satu atau semua
inputnya aktif HIGH.
Simbol segiempat NAND dan NOR sama dengan symbol AND dan OR, dengan
menambahkan segitiga invers pada outputnya.
Recording Sesi ke 5 Kelas Malam